Bilangan Rasional, Irasional Dan Bentuk Akar (Rational Number, Irrational Number, And The Surds)

Bilangan rasional
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk \(\frac{a}{b}\) dengan a,b bilangan bulat dan \(b\ne 0\). Bilangan rasional dilambangkan oleh Q. bilangan rasional dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan desimal, baik berupa bilangan desimal berulang atau bilangan desimal tidak berulang. Contoh:

3 = 3,00000  bilangan bulat atau berulang 0 (integer or repeated 0)
\(\frac{1}{4}\) = 0,25  tidak berulang tapi terbatas (not repeated but it is limited)
\(\frac{1}{6}\) =0,1666….  berulang 6
Dari contoh-contoh di atas dapat di katakana bahwa bilangan rasional meliputi bilangan bulat dan bilangan pecahan
Bilangan irasional
Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk \(\frac{a}{b}\) dengan a,b bilangan bulat dan \(b\ne 0\). Bilangan irasional dapat dinyatakan dalam bentuk bilangan desimal tak berulang tak terbatas. Contoh:
\(\sqrt{2}\) = 1,414213…
\(-\sqrt{5}\) = -2,236067…
Π = 3,1415…
e = 2,7182…
bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan irasional karena karena bila dintatakan dalam bentuk desimal, bentuknya bilangan desimal tak berulang tak terbatas. Dengan kata lain, bilangan-bilangan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk \(\frac{a}{b}\) dengan a,b bilangan bulat dan \(b\ne 0\).
Bentuk akar
Jika a,b bilangan real serta n bilangan bulat positif, maka:
\({{a}^{n}}\,=\,b\,\leftrightarrow \,\sqrt[n]{b}\,=\,a\)
Dengan:
\(\sqrt[n]{b}\) disebut akar (radikal)
b disebut radikan (bilangan pokok yang ditarik akarnya)
n sisebut indeks (pangkat akar)

\(\sqrt[n]{b}\) dibaca “akar pangkat n dari b (n root of b)”. Untuk n =2 maka \(\sqrt[2]{b}\) cukup ditulis \(\sqrt{b}\) dan dibaca “akar dari b (root of b)”. Dari definisi diatas, apabila n bilangan genap, maka berlaku: \({{a}^{n}}\,=\,b\,\leftrightarrow \,\sqrt[n]{b}\,=\,a\) dengan \(a,b\,\ge \,0\).
Akar-akar bilangan rasional yang hasilnya bukan bilangan rasional (irasional) disebut bentuk akar. Perhatikan contoh berikut:
Bukan bentuk akar
Bentuk akar
\(\sqrt{25}\,=\,5\)
\(\sqrt{3}\,=\,1,732...\)
\(\sqrt[3]{8}\,=\,2\)
\(\sqrt[3]{7}\,=\,1,912...\)
\(\sqrt{\frac{1}{4}}\,=\,\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{\frac{1}{8}}\,=\,0,353...\)
Bilangan \(\sqrt{25}\), \(\sqrt[3]{8}\), dan \(\sqrt{\frac{1}{4}}\) bukan bentuk akar meskipun 25, 8, dan \(\frac{1}{4}\) berada dalam tanda akar. Bengan dengan demikian, tidak semua bilangan rasional yang berada dalam tanda akar merupakan bentuk akar.